Om Poisson är läroboksmodellen för räknedata är negativ binomial den som faktiskt används.
Skillnaden är en extra parameter som tillåter variansen att överstiga medelvärdet. I gengäld beskriver den verkliga data betydligt bättre.
Varför överspridning uppstår
Den vackraste förklaringen är att negativ binomial är en Poissonfördelning vars intensitet i sin tur är gammafördelad.
Det betyder i klartext: varje kund har sin egen köpfrekvens, och de frekvenserna varierar mellan kunder. Räknar man alla kunder tillsammans blir den sammanlagda fördelningen negativ binomial, även om varje enskild kund vore perfekt Poisson.
Överspridning är alltså inte ett tecken på att något är trasigt. Det är vad man får när man aggregerar över enheter som skiljer sig åt, alltså i varje verkligt dataset.
Kopplingen till kundvärde
Det här är precis konstruktionen bakom BG/NBD-modellen som används i livstidsvärde. NBD i namnet står för negative binomial distribution.
Modellen antar att varje kund köper enligt en Poissonprocess med sin egen frekvens, att frekvenserna varierar enligt en gammafördelning över kundbasen, och att kunder slutar vara aktiva vid någon tidpunkt. Aggregerat ger de två första antagandena en negativ binomialfördelning.
Det är ett exempel på varför fördelningsvalet inte är en teknikalitet: hela modellfamiljen växer fram ur ett antagande om hur kunder skiljer sig åt.
När det inte räcker
Om många observationer är noll av ett annat skäl än låg intensitet — kunden har inte bara låg frekvens utan är helt inaktiv — behövs nollinflation ovanpå.
Och om överspridningen varierar systematiskt mellan grupper kan hierarkiska modeller vara ett bättre grepp än en enda gemensam spridningsparameter.